미적분, 놀라운 일상의 공식

미적분으로 생기는 관점

미적분으로 분석하는 돈의 흐름

어떤 사람이 라면집을 운영하는데 어느 달에 500만 원의 매출을 올렸다고 가정해 보자. 이 금액은 많은 걸까, 적은 걸까? 액수만으로는 판단할 수 없다.

이 라면집의 지난달 매출이 400만 원이었다고 하면 25%나 늘어났으니 500만 원은 많다고 추측할 수 있다. 반면, 지난달에 600만 원을 벌었다면 거의 20%나 줄어들었으니 적다고 볼 수 있다.

이처럼 매달 매출을 비교하여 돈의 수치를 분석할 때, 그 절대적인 액수뿐만 아니라 증감을 관리하는 것은 중요하다. 같은 매출이라 할지라도 증가하는 추세에 있다면 현재의 방침을 고수하여 장사를 이어가도 좋다고 생각할 수 있다. 하지만 매출이 감소하는 추세에서는 어떠한 조치를 취하지 않으면 매출이 줄어들 수도 있다.

돈의 흐름이란 어떤 한 지점의 숫자만 봐서는 적절한 판단을 내릴 수 없다. 과거의 데이터와 비교하고 그 증감을 확인해서 판단해야 한다.

이렇게 매출 그래프로 증감을 따지는 것이 미분이다.

이번에는 적분을 알아보자. 적분도 숫자를 분석할 때 빼놓을 수 없는 관점이다.

1년 매출: 6,000만 원

1~6월 매출: 3,100만 원

7~12월 매출: 2,900만 원

1월부터 12월까지의 매출 데이터가 있다. 이 데이터는 미분을 해서 각 달의 증감 상태를 알 수도 있겠지만, 적분을 했을 때도 중요한 수치를 제시해 준다.

이 매출을 1월부터 12월까지 적분해 보자. 그러면 적분을 한 숫자는 1년 치 매출이 된다. 각 달의 증감도 중요하지만, 1년 동안 누적 매출이 통틀어 얼마가 되는가 하는 관점도 중요하다. 이때 적분은 누적이라는 관점을 우리에게 주는 것이다.

또한 적분은 기간을 바꿔서 볼 수도 있다. 이 경우 1월부터 6월까지 적분(합계)을 하고 7월부터 12월까지 적분(합계)을 해서 비교하면, 1~6월까지의 매출이 살짝 더 높다는 사실을 알 수 있다.

단순히 매출 숫자만 놓고 보면 월 매출 ○○원이라는 한 가지 정보밖에 얻지 못한다. 그런데 미분을 쓰면 ‘변화’, 적분을 쓰면 ‘누적’이라는 정보가 따라오는 것이다.

숫자를 하나만 보는 사람과 3가지를 보는 사람의 분석 수준은 같을 수가 없다. 이처럼 미적분을 사용할 줄 알면, 숫자를 분석하는 수준이 올라간다. 하나를 알면 하나만 아는 사람과 하나를 알면 열을 아는 사람의 차이가 여기서 나는 것이다.

스마트폰 속의 미적분

가는 곳마다 활약하는 미적분은 특히 컴퓨터에서 빛을 발한다. 왜냐하면 우리는 디지털 세계, 즉 0과 1의 세계에 살고 있기 때문이다. 다시 말해 온 세상을 숫자로 인식하는 세계다. 그 숫자를 해석하기 위해서는 수치를 미분하거나 적분해야 한다.

당장 우리 손에 닿는 가장 가까운 컴퓨터는 스마트폰일 것이다. 스마트폰은 자그마하지만 거대한 슈퍼컴퓨터나 마찬가지라고 생각해도 좋다.

스마트폰으로 사진을 찍는다고 가정해 보자. 인간이 볼 때 사진은 사진으로 보이는데, 스마트폰 세계에서는 숫자일 뿐이다.

예를 들어 사진 한 장은 ‘가로 500×세로 500’이라는 점(화소라고 불린다)으로 나누어져 있으며, 그 점의 덩어리로 표현된다. 컴퓨터가 있는 사람은 사진을 가장 크게 확대해 보면 결국 화소로 이루어져 있다는 사실을 확인할 수 있을 것이다.

짙은 색부터 연한색까지 예를 들어 256단계(2×2×2×2×2×2×2×2)로 색을 나누고, 그 숫자의 덩어리로 표현하는 것이다. 이때 숫자가 클수록 밝은색이 된다.

우리가 볼 때는 사진이지만, 컴퓨터 안에서는 숫자일 뿐이다. 이는 컴퓨터 속에서는 전부 다 똑같이 음성이든, 동영상이든 모두 숫자로 표현된다.

스마트폰 안에서 미적분이 사용되는 예를 하나 더 소개하겠다.

이번엔 배터리 용량이다. 스마트폰은 배터리 용량이 ‘62%’라는 식으로 일의 자리까지 정확하게 표시되어 앞으로 배터리가 얼마나 남았는지 파악할 수 있게 되어 있다. 이 숫자를 산출하는 데 적분이 활약한다.

먼저 사전 지식으로서 전기나 전지가 어떤 것인지 간단히 설명하겠다. 전기의 정체는 전자라 불리는 알갱이다. 이 전자가 전지의 음극에서 양극으로 흐르고, 이 전자의 흐름이 우리가 아는 전류다.

전지(電池)는 전류의 주체인 전자를 화학 반응을 통해 저장하는 ‘연못’이라고 생각하면 된다. 연못 안에 있던 전자를 흘려보내는데, 쌓여 있던 전자를 모두 내보내면 텅 비게 되고 밖에서 전자를 보급하여 ‘충전’을 할 수도 있다.

그래서 흐르는 전자의 수를 세면 연못에 전자가 어느 정도 남아 있는지 파악할 수 있는 것이다.

그러나 전자의 수는 직접 셀 수가 없다. 알 수 있는 것은 ‘전류’ 뿐이고, 전류는 1초에 전자가 어느 정도 흐르는지 숫자로 나타낸다.

무슨 말인가 하면, 자동차의 속력과 같다고 보면 된다. 간격을 짧게 끊고 구간마다 흐르는 전자의 수를 더해서 합치는 것이다. 전류는 시시각각 변하지만, 0.01초만큼 짧은 시간 동안에는 일정하다고 할 수 있다. 이것이 바로 적분이다.

사진이나 전지를 예로 든 것처럼, 스마트폰 안에서도 미적분은 종횡무진 활약하고 있다. 미적분이라고 하면 ‘수학 시간에 배우는 그 쓸모없는 거?’라고 생각하는 사람도 많겠지만, 없으면 세상이 돌아가지 않는다고 할 정도로 중요한 기술이다.

물론 전류가 꾸준히 일정하게 흐르면 전자가 얼마나 흘렀는지 파악할 수는 있다. 예를 들어 1초 동안 1,000개의 전자가 흐른다고 가정하고, 그 상태가 1분 동안 이어지면 1,000개×60초로 60,000개의 전자가 흘렀다는 걸 알 수 있다.

하지만 전류는 일정하게 흐르지 않는다. 대기 화면 상태에서는 전류가 많이 흐르지 않고, 동영상을 볼 때처럼 뭔가 작동할 때는 스마트폰 기능을 최대한으로 사용하기 때문에 전류가 많이 흐른다.

왜 수식을 사용할까?

미래를 예측하려면 수식을 써라

‘수식을 왜 쓰나요?’라는 질문에 대해 ‘미래를 예측하기 위해’, 혹은 ‘보이지 않는 것을 보기 위해’라고 답할 수 있다.

인간이 눈으로 보고 대충 예측한다면, 수식 없이 감각만으로도 결과를 예상할 수 있다. 하지만 인간의 직감은 틀릴 가능성도 있을뿐더러 번거롭기까지 하다. 따라서 이런 예측을 컴퓨터에 맡기자는 것이다. 하지만 그러려면 반드시 수식으로 표현할 줄 알아야 한다. 컴퓨터는 감각을 갖고 있지 않아서 수식으로 표현된 것만 이해할 수 있기 때문이다.

비즈니스 관련 문제나 생물 관련 문제, 물론 공학적인 문제까지도 숫자를 분석할 때는 과거의 숫자를 보고 미래를 예측한다는 목적이 있다. 그러려면 숫자를 분석해서 수식으로 만들어야 한다. 그런 수식들은 현실의 숫자를 적용해서 미래를 예측하기 위해 존재한다고 볼 수 있다.

수식의 특징

일차함수

일차함수는 그래프가 직선이며 함수의 기본이다.

수식은 y=2x+1과 같은 형태인데, 일반화하면 y=ax+b(a, b는 정수이고 a는 0이 아니다)로 나타낸다. 이때 a를 기울기, b를 절편이라고 한다.

이 a와 b, 특히 직선의 기울기 a는 일차함수의 특징을 나타낼 때 매우 중요하다. 기울기 a는 x가 1 늘었을 때 얼마나 증가했는지를 나타내는데, 앞서 나온 예시에서 x가 살 노트 개수이고 y가 합계 금액이라고 했을 때 기울기는 노트 한 권의 가격을 나타낸다. 그리고 y절편 b는 입력(x)이 0일 때의 출력(y)값을 나타낸다.

이차함수

이차함수는 아래와 같이 그래프가 포물선을 그린다. 말 그대로 사물을 던졌을 때 나타나는 궤도가 이차함수로 표현되기 때문에 물리의 세계에서도 자주 등장하는 함수이다.

수식은 y=x2+x+3처럼 쓰고, 일반화하면 y=ax2+bx+c(a, b, c는 정수이고 a는 0이 아니다)로 나타낸다. 이때 x2의 계수 a가 양수면 ‘아래로 볼록’이 되고, a가 음수면 ‘위로 볼록’이 된다.

또한 포물선에서 최솟값이나 최댓값을 취하는 점을 ‘꼭짓점’이라고 부른다. 꼭짓점은 자주 쓰는 말이니 꼭 기억하자.

고차 함수

x의 n제곱 수식의 합으로 나타내는 함수 중에서는 일차함수나 이차함수가 자주 쓰인다. 하지만 최고 차수가 3 이상인 함수가 쓰일 때도 있다. 예를 들어 최고 차수가 3차일 때는 3차 함수, 최고 차수가 6차일 때는 6차 함수라고 부른다. 수식은 3차 함수일 때 y=ax3+bx2+cx+d(a, b, c, d는 정수이고 a는 0이 아니다)로 나타낸다.

그런데 도대체 왜 최고 차수에만 눈길을 주는지 이상할 것이다. 그 이유는 최고차항의(x가 변화했을 때의) 증가나 감소가 가장 빠르기 때문이다. 차수가 높아질수록 증가나 감소 속도가 빨라진다는 것을 알 수 있다.

또한 고차 함수는 일반적으로 차수가 높아지면 구불구불 휜다. 예를 들어 3차 함수는 일반적으로 극값이라 불리는 점(함수가 증가에서 감소, 또는 감소에서 증가로 변하는 점)을 2개, 4차 함수는 3개 취한다. 이처럼 차수가 하나 늘어날 때마다 극값도 커지기 때문에 구불구불 휘는 것이다.

지수함수

지수란 ‘25’처럼 어떤 수의 오른쪽 위에 올라가 있는 숫자를 말한다. 이것은 그 수를 곱하는 횟수를 나타내는데, 예를 들어 25라면 2×2×2×2×2로 2를 5번 곱한 수를 나타내고, 23이라면 2×2×2로 2를 3번 곱한 수를 나타낸다.

이때 y=2x라는 함수, 설명하자면 입력 x가 2를 곱한 횟수이고 y가 그 값이 되는 함수를 지수함수라고 부른다. 예를 들어 아래와 같이 3마리씩 새끼를 낳는 생물이 있다고 가정하자. 이때 x번째 세대의 개체수 y는 y=3x로 나타낸다.

사실 세상에는 이렇게 지수함수의 사고법으로 변화하는 관계가 많이 존재하는데, 수학을 응용할 때 자주 쓰는 함수이다. 이 지수함수는 매우 빠르게 증가하는 함수인데, 아무리 차수가 높은 고차 함수보다도 증가 속도가 더 빠르다.

수학의 세계 속 미적분

도함수란 ‘기울기의 함수’

적분이란 넓이를 구하는 것이고, 미분이란 기울기를 구하는 것이다. 그리고 지금까지 알아본 것처럼 일차함수는 미분과 적분 모두 간단하지만, 이차함수는 간단하지 않았다.

결론부터 말하자면 이차함수처럼 단순한 함수라면 도함수라 불리는 함수가 존재한다. 그리고 그 도함수가 기울기, 즉 미분계수를 나타낸다.

앞서 나온 f(x)=x2에서 x=2일 때 미분계수는 다음과 같이 구한다. f(x)=x2의 도함수 f′(x)는 f′(x)=2x이다. 여기서 도함수는 f(x)에 ′(프라임)을 붙여서 나타낸다는 것에 주의하자. 그리고 f′(x)=2x라면, 이 식에 x=2를 대입한 값 f′(2)는 4가 된다. 정리하자면, y=x2에서 x=2일 때 접선의 기울기(미분계수)는 4이다.

참고로 이 도함수는 온갖 값에서 쓸 수 있다. 예컨대 y=x2에서 x=1일 때 기울기는 f′(x)=2x에 x=1을 넣어서 f′(1)=2라고 구할 수 있다. 마찬가지로 x=3일 때의 기울기는 f′(3)=6으로 계산할 수 있다.

뜬금없이 도함수라는 말이 나와서 당황할 수도 있는데, 도함수란 어떤 함수에 기울기를 주는 함수이다.

구하는 방법보다 ‘도함수는 기울기를 나타낸다’라는 사실이 훨씬 더 중요하므로, 먼저 ‘도함수는 기울기의 함수’라는 인식만 확실히 가지면 된다. 그것이 미적분 공략의 지름길이다. 도함수는 ‘기울기의 함수’라는 사실을 시각적으로도 그릴 수 있어야 한다.

미분방정식으로 미래 예측하기

미분방정식이란 무엇인가?

중고등학교에서 배우는 것들 중 많은 사람에게 익숙한 1차 방정식이나 2차 방정식은 식이 주어지고 그것을 만족하는 x(숫자)를 구한다. 그런데 미분방정식은 y=x2 등의 함수(식)를 해로 갖는다. 일단 큰 차이점은 이렇다.

그리고 함수는 물체의 미래를 나타낼 수 있다. 따라서 미분방정식은 수학을 사용해서 미래를 예측할 때 가장 핵심적인 존재인 것이다.

그렇다면 미분방정식을 구체적으로 소개해 보겠다. 먼저 제일 단순한 미분방정식부터 알아보자. 여기서 y는 x의 함수를 나타내고,d/x 는 미분을 나타낸다. 이 식은 미분을 해도 자기 자신이 나오는 함수를 뜻한다.

여기까지만 보고 이 미분방정식의 해는 어떤 함수일지 눈치챈 사람도 있을 것이다. 미분을 했는데 원래 함수가 나온다? 그렇다. 바로 네이피어 수의 지수함수 ex이다. y=ex은 미분해도 다시 y=ex로 돌아가기 때문에 이 함수는 미분방정식의 해가 된다.

그러나 이게 다가 아니니 주의하자. 예를 들어 y=3ex라는 함수를 미분하면 y′=3ex가 되므로 이 미분방정식을 만족한다.

마찬가지로 y=4ex도, 이 미분방정식의 해가 된다. 즉, y=Cex(C는 정수)로 나타내는 모든 함수가 해가 되는 것이다.

원시함수가 1개로 정해지지 않듯이, 미분방정식의 해도 보통은 1개로 정해지지 않는다. 그런데 예를 들어 x=0일 때 y=2라는 사실을 알면, y=2ex 1개로 정해진다. 이 함수를 확정시키는 조건을 미분방정식의 세계에서는 초기 조건이라고 부른다.

미래를 예측한다고 하지만 현재를 모르면 예측할 수 없다. 예를 들어 ‘북쪽으로 10km 이동했다. 현재 위치는 어디인가’라고 물어도 어디에 있는지 알 수 없다. ‘처음에 A라는 장소에 있었는데’라는 정보가 주어져야만 답을 도출할 수 있다. 당연한 말이지만 이런 점이 수학을 사용해서 미래를 예측할 때 장벽이 되기도 한다.

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본 정보는 도서의 일부 내용으로만 구성되어 있으며, 보다 많은 정보와 지식은 반드시 책을 참조하셔야 합니다.